Сп 1 преобразование подобия и его свойства. Преобразования подобия и их свойства. Применение подобий к решению задач. Группа подобий и ее подгруппы. Свойства подобных фигур

Примеры

• Каждая гомотетия является подобием.
• Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1 .

Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета.

Связанные определения

Свойства

В метрических пространствах так же, как в n -мерных римановых , псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет r -членную группу преобразований Ли , называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов r -членная группа подобных преобразований Ли содержит (r − 1) -членную нормальную подгруппу движений.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Преобразование подобия" в других словарях:

преобразование подобия - Изменение характеристик моделируемого объекта посредством умножения его параметров на значения таких величин, которые преобразуют сходственные параметры, обеспечивая этим подобие и делая математическое описание, если оно имеется, тождественным… …

преобразование подобия - panašumo transformacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. transformation of similitude vok. Ähnlichkeitstransformation, f; äquiforme Transformation, f rus. преобразование подобия, n pranc. conversion de similitude, f; transformation de… … Fizikos terminų žodynas

См Гомотетия … Большой энциклопедический политехнический словарь

преобразование подобия - Изменение количественных характеристик данного явления посредством умножения их на постоянные множители, преобразующие эти характеристики в соответствующие характеристики подобного явления … Политехнический терминологический толковый словарь

Преобразование - (в кибернетике) изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П … Экономико-математический словарь

преобразование (в кибернетике) - Изменение значений переменных, характеризующих систему, например, превращение переменных на входе предприятия (живой труд, сырье и т.д.) в переменные на выходе (продукты, побочные результаты, брак). Это пример П. в ходе вещественного процесса. В… … Справочник технического переводчика

Замена одного математического объекта (геометрической фигуры, алгебраической формулы, функции и др.) аналогичным объектом, получаемым из первого по определенным правилам. Напр., заменяя алгебраическое выражение x2+4x+4 выражением (x+2)2,… … Большой Энциклопедический словарь

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия

Одно из основных понятий математики, возникающее при изучении соответствий между классами геометрических объектов, классами функций и т.п. Например, при геометрических исследованиях часто приходится изменять все размеры фигур в одном и… … Большая советская энциклопедия

Я; ср. 1. к Преобразовать и Преобразоваться. П. училища в институт. П. сельского хозяйства. П. механической энергии в тепловую. 2. Коренное изменение, перемена. Крупные социальные преобразования. Заняться хозяйственными преобразованиями. ◁… … Энциклопедический словарь

1. Определение преобразования подобия. Непосредственным обобщением движений являются преобразования подобия. Преобразование А называется преобразованием подобия, если для этого преобразования существует такое положительное число подобия», что каковы бы были две точки , всегда

При этом, как всегда, через М обозначаем образ точки М. Если , то получаем изометрические преобразования, т. е. движения, являющиеся, таким образом, частным случаем преобразований подобия.

Замечание 1. Легко видеть, что преобразования подобия образуют группу - подгруппу в группе всех преобразований (плоскости, соответственно пространства).

2. Равномерное растяжение (гомотетия). Сначала рассмотрим простейшие преобразования подобия, так называемые равномерные растяжения, или гомотетические преобразования (гомотетии). Растяжением пространства (плоскости) с центром О и коэффициентом растяжения k называется преобразование А, состоящее в следующем:

V Точка О остается неподвижной.

2 Всякая точка переходит в точку М, лежащую на луче ОМ и определяемую на нем условием ОМ .

Таким образом, название «растяжение» соответствует наглядной картине преобразования лишь при наше «растяжение» в действительности оказывается сжатием.

Замечание 2. Так как векторы и ОМ лежат на одной и той же полупрямой, исходящей из точки О, то они имеют одно и то же направление. Поэтому из равенства следует и .

Докажем, что всякое растяжение является преобразованием подобия. В самом деле, пусть при растяжении с центром О и коэффициентом к точки переходят соответственно в точки и М, (рис. 150). Тогда . Треугольники подобны, и, значит, , что и требовалось доказать.

Докажем теперь, что растяжение с центром О и коэффициентом k есть аффинное преобразование. Можно ограничиться случаем плоскости.

Возьмем произвольный координатный репер с началом в центре данного растяжения (рис. 151). Пусть - произвольная точка плоскости, - ее образ при данном растяжении (координаты относительно репера ). Тогда имеем равенство , эквивалентное системе равенств

доказывающей наше утверждение.

Обратно, если в какой-нибудь аффинной координатной системе . Преобразование А записывается в виде (2), то оно есть растяжение с центром О и коэффициентом растяжения k. В самом деле, преобразование - А, оставляя точку О на месте, переводит всякий вектор в вектор , откуда и следует утверждение.

Итак, растяжение плоскости с центром О и коэффициентом k может быть определено как аффинное преобразование, которое в , и тогда непременно во всякой, аффинной системе координат с началом О записывается в виде (2).

Замечание 3. Мы всегда в качестве исходной системы координат можем выбрать прямоугольную систему.

Совершенно аналогичный результат имеет место и для пространства.

Замечание 4. Все растяжения с данным центром образуют группу - подгруппу группы аффинных преобразований (плоскости, соответственно пространства).

3. Представление преобразования подобия в виде произведения растяжения и движения. Из сказанного до сих пор еще не ясно, является ли всякое преобразование подобия аффинным преобразованием. Положительный ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, которая и представляет собою основной результат этого параграфа.

Теорема 11. Всякое преобразование подобия с коэффициентом подобия k есть аффинное преобразование, а именно произведение растяжения с тем же коэффициентом k и произвольным центром О на некоторое собственное или несобственное движение A.

Доказательство. Пусть Q есть растяжение с произвольным центром О и коэффициентом - L. При преобразовании длина каждого отрезка умножается на k, а при преобразовании Q она умножается на поэтому, если сделать сначала преобразование Q, а потом преобразование то получим преобразование при котором длина каждого отрезка остается неизменной. Другими словами, преобразование есть изометрическое преобразование, т. е. движение, собственное или несобственное.

Лекция №16

Преобразование подобия. Гомотетия. Виды подобия.

Классификация подобий плоскости. Группа подобия и ее подгруппы.

Определение 16.1 . Преобразование плоскости называется преобразованием подобия, если k > 0, что для любых двух точек А и B и их образов A ` и B ` выполняется равенство
.

При k =1 преобразование подобия сохраняет расстояние, т.е. является движением. Значит, движение – частный случай подобия.

Определение 16.2. Преобразование плоскости называется гомотетией, если существует некоторое число m1 , что для любых трех точек плоскости М, М, M ` выполняется условие
.

Точка М - центр гомотетии, числоm – коэффициент гомотетии. Если m > 0 – гомотетия положительна, если m < 0 – гомотетия отрицательна.

Теорема 16.3. Гомотетия есть подобие.

Доказательство:

,
.

2. По определению гомотетии имеем:

3. Вычтем из первого равенства второе: ,

. Значит, гомотетия есть подобие, где коэффициент гомотетии
равен коэффициенту подобия.

Если точка М (x , у) при гомотетии переходит в точкуM`(x`,y`), то:

- аналитические выражения гомотетии.

Свойства гомотетии

Гомотетия с коэффициентом, отличным от 1, переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, ей параллельную; прямую, проходящую через центр – в себя.

Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек.

Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости.

Гомотетия переводит угол в равный ему угол.

Теорема 16.4. Пусть f – преобразование подобия с коэффициентом k > 0 , а h – гомотетия с коэффициентом k и центром в точке М . Тогда существует единственное движение g такое, что f = g ∙ h .

Доказательство:

Рассмотрим композицию движения и гомотетии(помножим обе части равенства (*) на гомотетию):
илиg ∙ h = f (**)

Гомотетия обладает всеми свойствами движений, подобие также обладает всеми свойствами движений.

Так как гомотетия сохраняет ориентацию, а подобие есть произведение движения на гомотетию, т.е. движение имеет одну ориентацию с гомотетией, то подобие также имеет эту ориентацию. В этом случае говорят о подобии 1-го рода.

Если движение имеет ориентацию, противоположную гомотетии, то в этом случае подобие имеет противоположную ориентацию и является подобием 2-го рода.

Аналитические выражения подобия

Так какгомотетия задается выражениями , движение задается выражениями, то координаты образа
точки
в преобразовании подобия
вычисляются по формулам:

Если ε = 1, то подобие первого рода;

Если ε = -1, то подобие второго рода.

Теорема 16.5. Любое преобразование подобия имеет только одну неподвижную точку в том случае, если оно отлично от движения.

Доказательство:

1. Точка
является неподвижной точкой этого преобразования тогда и только тогда, когда
. Из аналитических выражений подобия следует, что

Определитель системы не равен 0 при ε = ± 1 . Таким образом, при k 1 для любого имеем, что определитель не равен нулю и, следовательно, система является однородной, т.е. будет иметь единственное решение.

Классификация подобия

Подобие первого рода.

Подобие второго рода.

Следствие16.6. Любое преобразование подобия, имеющее более чем одну неподвижную точку или не имеющее неподвижных точек, является движением.

Группа подобия и ее подгруппы.

Пусть P – множество всех преобразований подобия плоскости, и на нем задана некоторая операция «∙».

Множество Р является группой относительно этой операции.

Действительно:

Подобие первого рода образует подгруппу группы Р. Множество гомотетий с коэффициентом k (равным коэффициенту подобия) образует подгруппу группы Р.

Множество подобий второго рода не образует подгруппу, т.к. произведение подобий второго рода дает подобие первого рода.

Тема урока: Преобразование подобия. Подобные фигуры.Гомотетия

Тип урока: урок сообщения и усвоения новых знаний.

Цели урока:

Образовательные:

дать понятие преобразования подобия фигур;

свойства преобразования подобия;

Развивающие:

1 .Развивать практические навыки применения подобия фигур при решении задач.

2. Создавать условия для реальной оценки у обучающихся своих знаний и возможностей.

Воспитательные:

1 .Воспитание навыков контроля и взаимоконтроля.

2.Воспитание аккуратности при выполнении чертежей и записей

Ход урока.

1. Организация на урок. подготовка учащихся к восприятию новых знаний, сообщение темы и целей урока.

2. Постановка цели:

знать : определение и свойства преобразования подобия, гомотетия

уметь: строить подобные и гомотетичные фигуры с данным коэффициентом подобия

3. Актуализация прежних знаний

Повторение пройденного материала, тесно связанного с изучением нового (фронтально устно, МД) Работа у доски

Определите вид преобразований:

Что общего между этими преобразованиями?

Свойства движения:

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Сохраняются расстояния между точками.

Сохраняются углы между лучами.

Следствие: При движении фигура переходит в равную ей фигуру!!!

4. Объяснение нового материала (лекция с опорным конспектом, СР с учебником -конспектирование)

Сначала выполните следующее задание: начертите у себя в тетрадях, а мы на доске, схематично план класса.

Почему стол на плане изображен прямоугольником(а не кругом или

квадратом)?

Чем отличаются и что имеют общего стол на планах на доске и в тетрадях? (отличаются размерами, но имеют одну и ту же форму).

В жизни часто встречаются предметы, имеющие одинаковую форму, но различные размеры. Таковы, например, фотографии одного и того же лица, изготовленные с одного негатива в различных размерах, планы здания или целого города, местности, вычерченные в различных масштабах.

Такие фигуры принято называть подобными , а преобразование, переводящее одну фигуру F в подобную фигуру F, называют преобразованием подобия.

Демонстрируются плакаты с изображением фигур, имеющих одинаковую форму, но различные размеры. Учащимся предлагается привести примеры таких предметов из жизни.

Для того, чтобы дать строгое математическое определение преобразования подобия надо выделить свойства этого преобразования.

Перед каждым учащимся лежит карточка (рис. 1)

Даны подобные фигуры F и F. Измерьте и сравните расстояния АВ и АВ, ВС и В 1 С 1 и т.д. Какую можно заметить зависимость между расстояниями у подобных фигур? (Все расстояния изменяются в одно и то же число раз, на чертеже в 2 раза).

Преобразование при котором фигура сохраняет вид, но изменяет размеры  называется преобразованием подобия

т.е. ХУ" = к·ХУ; АВ= к ·АВ.

Число к называется коэффициентом подобия.

Преобразование подобия имеет широкое практическое применение, в частности, при выполнении деталей машин, составлении карт и планов местности. При этом коэффициент подобия называется масштабом.

Частным случаем преобразования подобия является преобразование гомотетии .

Пусть F данная фигура, О – фиксированная точка, к – положительное число. Через произвольную точку Х фигуры F проведем луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ" равный к ·ОХ.

Любой точке Х на плоскости будет соответствовать точка Х" удовлетворяющая равенству ОХ"= к ОХ,преобразование называется гомотетией, относительно центра О с коэффициентом к.

Число к называется коэффициентом гомотетии , а фигуры F и F называются гомотетичными.

-

Для фигур F и F" укажите гомотетичные точки. Как располагается любая пара точек и центр О? (На одном луче).

Какая особенность в расположении гомотетичных отрезков? (Они параллельны ).

Всегда ли подобные фигуры гомотетичны? (Обратиться к карточке рис.2)

А всегда ли гомотетичные фигуры подобны?

Ответ на последний вопрос дает теорема: Гомотетия есть преобразование подобия.

Составьте постер: Преобразование подобия (свойства)

расстояние между любыми двумя точками увеличиваются или уменьшаются в одно тоже число раз

соответствующие стороны подобных фигур параллельны

При гомотетии сохраняются только углы!!!

центр и гомотетичные точки расположены на одной прямой

5,Проверка понимания нового материала :

Построить точку (отрезок, фигуру) гомотетичную данной, если коэффициент гомотетии равен к.

) к = 2 б) к = 3 в) к = 2

Практическая работа на карточках в 2 вариантах :

Вариант 1.

Дан прямоугольник и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному прямоугольнику относительно центра О с коэффициентом k = -2.

Вариант 2.

Дан квадрат и точка О. Построить фигуру, гомотетичную данному квадрату относительно центра О с коэффициентом k = 0,5.

В зависимости от подготовленности класса, можно организовать обмен карточками между соседями.

6 . Итог урока: (систематизация и обобщение знаний;)

Отметить учащихся, активно работавших на уроке. Сообщить и прокомментировать выставленные оценки

7. Домашнее задание § №

Геометрия

Подобие фигур

Свойства подобных фигур

Теорема. Когда фигура подобна фигуре , а фигура - фигуре , то фигуры и подобные.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. Например, в подобных треугольниках ABC и :
; ; ;
.

Признаки подобия треугольников

Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам второго треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Теорема 3. Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.
Из этих теорем вытекают факты, которые являются полезными для решения задач.
1. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
На рисунке .

2. У подобных треугольников соответствующие элементы (высоты, медианы, биссектрисы и т.д.) относятся как соответствующие стороны.
3. У подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
4. Если О - точка пересечения диагоналей трапеции ABCD , то .
На рисунке в трапеции ABCD: .

5. Если продолжение бічих сторон трапеции ABCD пересекаются в точке K , то (см. рисунок).
.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 1. Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то они подобны.
Теорема 2. Если два катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны двум катетам второго прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника пропорциональны катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника, то такие треугольники подобны.
Теорема 4. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разбивает треугольник на два прямоугольных треугольника, подобные данному.
На рисунке .

Из подобия прямоугольных треугольников вытекает такое.
1. Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
; ,
или
; .
2. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:
, или .
3. Свойство биссектрисы треугольника:
биссектриса треугольника (произвольного) делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
На рисунке в BP - биссектриса .
, или .

Сходство равносторонних и равнобедренных треугольников

1. Все равносторонние треугольники подобные.
2. Если равнобедренные треугольники имеют равные углы между боковыми сторонами, то они подобны.
3. Если равнобедренные треугольники имеют пропорциональные основание и боковую сторону, то они подобны.